2020年1月12日 日曜日 お知らせ, 雑談?とか

久々に考えて見ると、算数は面白い

どーも、こんちわノ

考えて見れば、もう年も明けて受験シーズンなんスよね

まぁ…アタシとしては、受験の為にする勉強には何の意味も無いと思うケドねぇ

どんだけ英文法を覚えても話せなければ意味が無いし、公式を詰め込んでも応用する思考力がなければ意味が無い

受験の為に勉強してんのなら止めちまえ、とすら思うネ┐(´д`)┌ヤレヤレ

当然やるに越したことはないケド…解法に疑問を持ち、その裏を取る事の方が重要だと思う訳ダヨ

(てか、テスト前の詰め込みとか意味判んないし、普段から教本読んでりゃいいダロ)

 

そんな訳で、今日は軽い算数の話でもしようかねぇ

なに…難しい話じゃないさ、「多角形に於ける内角の総和」の求め方、及びその証明くらいダヨ

数学ですらない、算数のお話だよね

ま、小学生の時には全く興味が無かったんで分からんかったケド、後で調べたら面白かったんでネ

 

 

さて、そもそも角度ってのは何か?

真円を中心点と円周を結ぶ線によって360等分した中で、1つの線とその隣にある1つの線が構成する角度を1°とする

この仮定の上に成り立っている訳ダネ

つまり、この前提条件下では円=360°、半円=180°、直角=90°であると言えるよね

なんで直角が90°なのか?って聞かれたら、上記の前提条件を説明しないと??となるんだよね^^;

ぶっちゃけ別の数字を代入しても問題ないしナ(笑)

ま、人類がちょうど扱い易かったのが「円を360等分したものを1°とする」って仮定だったんよね

ん…角度の定義なんか分かってるだろうし、先に行こうかねぇ

 

んでわ、多角形に於ける内角の総和について…

ご存知の通り、三角形の内角の総和は180°だよね

じゃぁ、この180°は何故180°だと分かるのか?

この証明についてだけど、図にした方が分かり易いカナ↓

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・線分ABと平行な線を頂点Cから伸ばし、その終点をDとする

・△ABCの底辺である線分BCを延長させ、その終点をEとする

(終点について数値はどーでもいい、Xのままでおk)

その2つの線を追加した図が↑のなんだけど、aとb…同じ記号が各1対あるよね?

コレを説明出来れば、内角の総和について証明が出来るのよね

但し…その前提として、平行線の性質を知らないといけないナ

<平行線の性質>

1:平行線とそれらに交わる直線から成る同位角は等しい

2:平行線とそれらに交わる直線から成る錯角は等しい

 

この2つを踏まえた上で図を見ると、線分ABとDCは平行だよネ

て―ことは、aとaは錯角だから等しい

∠BAC=∠ACDと言える

更に、Eが線分BCの延長線上にあり線分ABとDCが平行だから、bとbは同位角なので等しい

∠ABC=∠DCEと言える

 

ここで頂点Cの部分を見ると、C,a,bの3つの角が半円を描いているのが判るネ

半円の角度は前提条件から180°だと分かるので…

∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°(半円の部分)

∠ACB+∠ACD+∠DCE=∠ABC+∠BCA+∠CAB

∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°(△の内角部分)

ここから、三角形の内角の総和は180°である事が証明出来るナ

んー…簡単な証明ながら合理的で良いネ

 

…因みに、こんな方法でもいいんじゃね?っていうのが↓の奴

 

 

 

 

 

…いやまぁ、平行線を複数引いて錯角のみでゴリ押ししただけなんだがネ

注釈入れると、2枚目の図で言ってる△ABDが△ABCと同じであるって部分は…

2辺の長さが同じ+その2辺から成る角度が同じ=同一の三角形、ってのから分かるよね

ま、最初の求め方のが楽だけどナ(笑)

でも、なんかスタンダードな方法と違ったアプローチがしたくなるのよね^^;

 

 

この時点で長話だとは思うけケド…流れで四角形の内角の総和も行こうかねぇ

…っても、理屈が理解出来りゃあ三角形と変わらんケドね

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

さっきのが理解出来てりゃ、この図で言いたい事は分かるのよね

1:適当な不等辺四角形でも書いて、1つの頂点を決めておく(図だとA)

2:その頂点を通らない2本の線(図のDCとCB)を、決めた頂点の部分に平行移動させる(図のEAとAF)

3:平行線の性質を使って、決めた頂点(A)の外角を推定する

  ∠EADは∠ADCの錯角の為、同じ角度(d=d)

  ∠EAFは∠DCBの同位角の為、同じ角度(c=c)

  ∠FABは∠ABCの錯角の為、同じ角度(b=b)

4:上記3つ(頂点Aの外角)と頂点Aの内角(∠DAB)を合わせると、角度は円となり360°である

5:平行線の性質から考えて、∠DAB+∠EAD+∠EAF+∠FAB(合計で360°)=∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC

6:∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC=360°となるので、四角形の内角の総和は360°と言える

 

ん~、七面倒くさい言い方だとこうなるねぇ

いやまぁ…別に四角形を対角線で区切って、三角形2つにしてもいいんだけどナ(180°の△が2つだから360°)

でも、やってる事は三角形と同じだから難しいわけでなし、応用も効くから覚えておかないと駄目だよネ

 

 

あー…っても、そもそも錯角と同位角が判んなきゃ解らんカナ;

えーと…これでいいカナ?

「同位角」は見たまんま、赤い部分が平行移動しただけダネ

1本の線をレールと見立てて、その上を同じ向きで平行移動した線が平行線

…正確に言えば、「左右どちらに伸ばしても決して交わらない2本の直線=平行線」

同じ線がそのまま横滑りしただけなんだから、同位角は同じものだと言えるわけダヨ

 

そんで、「錯角」の方は理屈を知れば簡単で…同位角や対角と半円を利用するネ

先ずは、1つの直線に2本の平行線を引いて、Zないしは逆Zっぽい部分を見つける

んで、Zっぽいのにある2つの∠部分が錯角

これが同一であることは、対角の同位角である事によって判るナ

何言ってんだ、コイツ?と思うかもだけど、図で見ればこんだけ↑

X・Yが平行な線で、橙の線がZっぽい部分

∠aを決めて、平行線とで出来る∠a’の事を錯角と呼ぶ

んで、それとは別の話になるケド、直線2本が交わっていればその対角は同じ角度になる

(鋏がイメージし易いかね?持ち手を垂直にすれば刃も垂直になる)

aの対角をAとすると、A=a

平行線の性質から、Aとa’は同位角となる

ならば角度は同じなので、A=a’

つまり…「a=A=a’」となるので、錯角は等しいと言えるわけダネ

 

それか、同じ図にb(桃色のトコ)を書き加えて半円を利用してもいいナ

1)∠aと∠bは半円になるから、a+b=180°→a=(180-b)

2)∠Aと∠bは半円になるから、A+b=180°→A=(180-b)

3)∠a’と∠bは半円になるから、a’+b=180°→a’=(180-b)

(b同士は同位角)

1)~3)の式で右辺が同一である事から、「a=A=a’」であると言える

つまり、これでも錯角は等しいと証明できるネ

…コレが小学生ん時に理解出来てたらテスト楽だったのにナ(笑)

 

 

という事で、小~中学生レベルの算数について話してみた訳だけど

自分で文章にしてみると三角と四角でも長いもんだね、教師の苦労が解るヨ^^;

おかげで多角形は今度にしないとダヨ(笑)

んじゃ、また今度ノシ