どーも、こんちわノ
考えて見れば、もう年も明けて受験シーズンなんスよね
まぁ…アタシとしては、受験の為にする勉強には何の意味も無いと思うケドねぇ
どんだけ英文法を覚えても話せなければ意味が無いし、公式を詰め込んでも応用する思考力がなければ意味が無い
受験の為に勉強してんのなら止めちまえ、とすら思うネ┐(´д`)┌ヤレヤレ
当然やるに越したことはないケド…解法に疑問を持ち、その裏を取る事の方が重要だと思う訳ダヨ
(てか、テスト前の詰め込みとか意味判んないし、普段から教本読んでりゃいいダロ)
そんな訳で、今日は軽い算数の話でもしようかねぇ
なに…難しい話じゃないさ、「多角形に於ける内角の総和」の求め方、及びその証明くらいダヨ
数学ですらない、算数のお話だよね
ま、小学生の時には全く興味が無かったんで分からんかったケド、後で調べたら面白かったんでネ
さて、そもそも角度ってのは何か?
真円を中心点と円周を結ぶ線によって360等分した中で、1つの線とその隣にある1つの線が構成する角度を1°とする
この仮定の上に成り立っている訳ダネ
つまり、この前提条件下では円=360°、半円=180°、直角=90°であると言えるよね
なんで直角が90°なのか?って聞かれたら、上記の前提条件を説明しないと??となるんだよね^^;
ぶっちゃけ別の数字を代入しても問題ないしナ(笑)
ま、人類がちょうど扱い易かったのが「円を360等分したものを1°とする」って仮定だったんよね
ん…角度の定義なんか分かってるだろうし、先に行こうかねぇ
んでわ、多角形に於ける内角の総和について…
ご存知の通り、三角形の内角の総和は180°だよね
じゃぁ、この180°は何故180°だと分かるのか?
この証明についてだけど、図にした方が分かり易いカナ↓
・線分ABと平行な線を頂点Cから伸ばし、その終点をDとする
・△ABCの底辺である線分BCを延長させ、その終点をEとする
(終点について数値はどーでもいい、Xのままでおk)
その2つの線を追加した図が↑のなんだけど、aとb…同じ記号が各1対あるよね?
コレを説明出来れば、内角の総和について証明が出来るのよね
但し…その前提として、平行線の性質を知らないといけないナ
<平行線の性質>
1:平行線とそれらに交わる直線から成る同位角は等しい
2:平行線とそれらに交わる直線から成る錯角は等しい
この2つを踏まえた上で図を見ると、線分ABとDCは平行だよネ
て―ことは、aとaは錯角だから等しい
∠BAC=∠ACDと言える
更に、Eが線分BCの延長線上にあり線分ABとDCが平行だから、bとbは同位角なので等しい
∠ABC=∠DCEと言える
ここで頂点Cの部分を見ると、C,a,bの3つの角が半円を描いているのが判るネ
半円の角度は前提条件から180°だと分かるので…
∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°(半円の部分)
∠ACB+∠ACD+∠DCE=∠ABC+∠BCA+∠CAB
∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°(△の内角部分)
ここから、三角形の内角の総和は180°である事が証明出来るナ
んー…簡単な証明ながら合理的で良いネ
…因みに、こんな方法でもいいんじゃね?っていうのが↓の奴
…いやまぁ、平行線を複数引いて錯角のみでゴリ押ししただけなんだがネ
注釈入れると、2枚目の図で言ってる△ABDが△ABCと同じであるって部分は…
2辺の長さが同じ+その2辺から成る角度が同じ=同一の三角形、ってのから分かるよね
ま、最初の求め方のが楽だけどナ(笑)
でも、なんかスタンダードな方法と違ったアプローチがしたくなるのよね^^;
この時点で長話だとは思うけケド…流れで四角形の内角の総和も行こうかねぇ
…っても、理屈が理解出来りゃあ三角形と変わらんケドね
さっきのが理解出来てりゃ、この図で言いたい事は分かるのよね
1:適当な不等辺四角形でも書いて、1つの頂点を決めておく(図だとA)
2:その頂点を通らない2本の線(図のDCとCB)を、決めた頂点の部分に平行移動させる(図のEAとAF)
3:平行線の性質を使って、決めた頂点(A)の外角を推定する
∠EADは∠ADCの錯角の為、同じ角度(d=d)
∠EAFは∠DCBの同位角の為、同じ角度(c=c)
∠FABは∠ABCの錯角の為、同じ角度(b=b)
4:上記3つ(頂点Aの外角)と頂点Aの内角(∠DAB)を合わせると、角度は円となり360°である
5:平行線の性質から考えて、∠DAB+∠EAD+∠EAF+∠FAB(合計で360°)=∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC
6:∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC=360°となるので、四角形の内角の総和は360°と言える
ん~、七面倒くさい言い方だとこうなるねぇ
いやまぁ…別に四角形を対角線で区切って、三角形2つにしてもいいんだけどナ(180°の△が2つだから360°)
でも、やってる事は三角形と同じだから難しいわけでなし、応用も効くから覚えておかないと駄目だよネ
あー…っても、そもそも錯角と同位角が判んなきゃ解らんカナ;
えーと…これでいいカナ?
「同位角」は見たまんま、赤い部分が平行移動しただけダネ
1本の線をレールと見立てて、その上を同じ向きで平行移動した線が平行線
…正確に言えば、「左右どちらに伸ばしても決して交わらない2本の直線=平行線」
同じ線がそのまま横滑りしただけなんだから、同位角は同じものだと言えるわけダヨ
そんで、「錯角」の方は理屈を知れば簡単で…同位角や対角と半円を利用するネ
先ずは、1つの直線に2本の平行線を引いて、Zないしは逆Zっぽい部分を見つける
んで、Zっぽいのにある2つの∠部分が錯角
これが同一であることは、対角の同位角である事によって判るナ
何言ってんだ、コイツ?と思うかもだけど、図で見ればこんだけ↑
X・Yが平行な線で、橙の線がZっぽい部分
∠aを決めて、平行線とで出来る∠a’の事を錯角と呼ぶ
んで、それとは別の話になるケド、直線2本が交わっていればその対角は同じ角度になる
(鋏がイメージし易いかね?持ち手を垂直にすれば刃も垂直になる)
aの対角をAとすると、A=a
平行線の性質から、Aとa’は同位角となる
ならば角度は同じなので、A=a’
つまり…「a=A=a’」となるので、錯角は等しいと言えるわけダネ
それか、同じ図にb(桃色のトコ)を書き加えて半円を利用してもいいナ
1)∠aと∠bは半円になるから、a+b=180°→a=(180-b)
2)∠Aと∠bは半円になるから、A+b=180°→A=(180-b)
3)∠a’と∠bは半円になるから、a’+b=180°→a’=(180-b)
(b同士は同位角)
1)~3)の式で右辺が同一である事から、「a=A=a’」であると言える
つまり、これでも錯角は等しいと証明できるネ
…コレが小学生ん時に理解出来てたらテスト楽だったのにナ(笑)
という事で、小~中学生レベルの算数について話してみた訳だけど
自分で文章にしてみると三角と四角でも長いもんだね、教師の苦労が解るヨ^^;
おかげで多角形は今度にしないとダヨ(笑)
んじゃ、また今度ノシ